“Muchas veces se enseñan técnicas, sin una justificación”

abril 18, 2013

Modificar la consideración social de aquellos a quienes les gustan los números; no institucionalizar inmediatamente las soluciones e instar a los alumnos a ensayar respuestas, en vez de aburrirlos con correcciones en el pizarrón y desafiarlos a vincular los problemas y conocimientos con la vida cotidiana, son algunas de las consideraciones que hace la especialista Dilma Fregona para que la Matemática deje de ser un cuco en la escuela.

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“Las clases de Matemática terminan siendo como la visita al museo: ‘Acá está Pitágoras; acá el factoreo; acá la resolución de ecuaciones’. Qué vinculación tienen con la realidad o con otros problemas matemáticos, para qué sirven, cuándo se van a utilizar, por qué estudiar esas cuestiones, a qué tipos de situaciones dieron solución: todo aquello que es la razón de ser de estas nociones no está”. Con esta frase, Dilma Fregona, docente e integrante del grupo de enseñanza de la ciencia y la tecnología del FaMAF (Facultad de Matemática, Astronomía y Física) de la Universidad Nacional de Córdoba, ejemplifica la dificultad existente para que los chicos aprendan a disfrutar los números y sus operaciones en su paso por la escuela.

Odiada por muchos, temida por tantos, una de las disciplinas que mayor recurrencia al fracaso y menor cantidad de profesionales salidos de sus filas cuenta, tiene, en palabras de la Doctora en Didáctica de la Matemática por la Universidad de Bordeaux, Francia, quien cita a Jesús Hernández, un carácter elitista: existe la creencia de que los estudiantes se dividen entre los que son buenos para ella y quienes están condenados a no entenderla. Así, se ha convertido “en una herramienta de exclusión en el armado de la pirámide social”, tal como “unos siglos atrás era el Latín”. Y en esa misma línea, apunta que contar, o no, con conocimientos en el área es definitorio a la hora de desenvolverse en la vida, y tener buenos empleos: “Es bien conocido que, por ejemplo, los obreros de la construcción que pueden tomar medidas, construir ángulos rectos, interpretar planos, tienen mejores trabajos”.

Las razones, además de complejas, son universales: “A pesar de que existe una gran demanda de egresados y que tiene una importancia social muy fuerte –porque si se para la Matemática, se frena el mundo–, culturalmente, existe una carga negativa muy fuerte, que en muchos casos la escuela ayuda a formar: si te gusta la materia sos raro”, explica Fregona.

Frente a ello, la especialista pide mayor acompañamiento a los docentes en la tarea que realizan, pero también, por parte de los educadores, un acercamiento al mundo cotidiano: “Una de las dificultades es que se la ve como un lenguaje –difícil, formal– con poca vinculación con los problemas de la misma disciplina o de la vida diaria pero que se pueden modelizar matemáticamente”.

Así, Fregona sostiene que, sin olvidar cuáles son los contenidos específicos de la disciplina, hay que trabajarlos de manera que “resulten unos conocimientos funcionales que permitan tratar situaciones en diferentes contextos”. “Una formación elemental, vinculada al quehacer matemático, es la de producir en conjunto y comunicar, sea simbólicamente o no, por escrito esas producciones, tal como plantean autores como Lopes y Borbas. Esas son situaciones que se pueden trabajar en el aula: mi grupo, por ejemplo, tiene cierta información y tiene que pasarle por escrito un mensaje (si es de geometría, sin dibujos) al otro grupo para que reproduzca una figura que se superpone con otra que yo tengo”. “Esas cuestiones –cómo y qué es esencial informar– son fundamentales, por ejemplo en situaciones laborales, en las que se acaba un turno y hay que decirle al otro qué tareas quedaron pendientes para continuar”.

 

Contratos y modas en el aula

Dilma Fregona, tal su especialidad, le da particular importancia a la práctica áulica, y en ese marco a la manera en que los profesores se acercan a los estudiantes, son capaces de diagnosticar el nivel de conocimientos que tienen y exponen cómo van a desarrollar la clase. En este sentido, plantea que los maestros suelen tener dificultades para retrabajar algunas nociones que debían haber sido aprendidas con anterioridad y cuyos contenidos tienen que ser dados para poder seguir avanzando. “Si no, ¿cuándo les vamos a enseñar?”, se pregunta.

Así, sirviéndose de un registro escrito –realizado por Joel Armando–, analiza el desarrollo de una primera clase donde se trata de recuperar el nombre y escritura de números naturales y su orden, en un 1° año del secundario –que suele servir como trabajo práctico en FaMAF– y señala algunas cuestiones que pueden hacer naufragar los mejores intentos docentes (de Matemática, aunque por las cuestiones que aborda, sirven para cualquier otra disciplina). Al presentarse –indica Fregona–, la profesora les dice a sus alumnos “que van a ver cosas que ya conocen”. “Si ya conocen el tema, para qué van a la escuela, cuál es el sentido de estar ahí”, pregunta retóricamente Fregona, y agrega: “Si no hay un desafío de ponerme a trabajar con otro, estamos como en una guardería”. Y añade: “Estamos desaprovechando la oportunidad para que los alumnos puedan disfrutar de la cultura que es objeto de trabajo en la institución escolar”.

En esa misma clase, la docente luego les dice a sus estudiantes: “Pero no se asusten, no son temas más difíciles que esto. Ustedes ya los han visto, los conocen. Y si alguno no lo vio, me dice”. “Esta frase –analiza– va sentando las bases del contrato en el aula, porque el alumno no puede decir que no sabe cómo se escriben los números porque hace ocho años que los viene viendo. Podrá decir que no se acuerda, que no entendió el tema, o no aprendió: pero no que no lo vio”. “El contrato –continúa– es que si no lo viste nunca, yo, profesora, te lo explico; pero si ya te lo dieron, lo tenés que saber”. “Con ese criterio, ya se te pasó la oportunidad de aprender: y la vida no es así, estamos siempre aprendiendo”.

Otra cuestión a la que Fregona dice que hay que prestarle atención es a “las modas que se van instalando, particularmente en los niveles inicial y primario, con sus famosos materiales didácticos”. Y rememora: “Hace 60 años conocer los números era aprender la grafía: filita de unos, filita de dos. Después empezaron, por el impacto de todas las investigaciones piagetianas, y la influencia de los procesos basados en la acción, a aparecer distintos recursos. En los ’70, surgieron los bloques multibase de Zoltan Dienes –con la unidad suelta, la barrita de 10 unidades y la placa de 10 decenas– que ponían el foco en la idea de los agrupamientos regulares en el sistema decimal, aunque dejaba un poco de lado la noción de posición. De eso pasamos a las fichitas de colores, después al ábaco y finalmente a la tabla de números”. “Cada uno de los recursos enfatiza algún aspecto”, explica pero –señala de manera crítica– lejos de servir para brindar más opciones en el aula “se instalan modas donde pareciera que todo lo anterior no sirve”. “Y no es así. Si uno como docente sabe que haciendo tal cosa, los chicos aprenden: mantenelo e incorporá lo otro. Ni subirse a la ola con la novedad, ni descartarla porque me quedo treinta años atrás”, sugiere.

En estos cambios de paradigmas y formas de entender la Matemática y su enseñanza, la conversación vira hacia los libros y programas de TV sobre difusión de las ciencias, entre los cuales los de Adrián Paenza son los más conocidos por el público no especializado. En ese punto, Dilma Fregona afirma que si bien le parecen interesantes las emisiones televisivas, como Alterados por PI, donde Paenza va a las escuelas, “no las comparte”: “Él, en un pizarrón, planteando un problema y ‘guiando’ la solución. Los chicos sentados, sin un lápiz, ni un papel, ni una computadora, ni nada. Se suponía que tenían que seguir su razonamiento; si alguno tenía alguna idea, entonces pasaba al frente y a través de su ‘guía’ obtenía la respuesta que esperaba”. “Eso no era una clase, sino una exposición. Una clase de Matemática, en un aula común, implica que el alumno explore un problema, tome decisiones, plantee preguntas, haga conjeturas, pruebe la verdad de la respuesta…, y si es con otro, mejor”, concluye.

Producir soluciones

Fregona es crítica de la estructura graduada del sistema educativo, que implica que el alumno tenga que aprender determinados contenidos a cierta altura del año, porque cuando eso no ocurre pareciera “que se pasó la oportunidad”; cuando “todos sabemos que los aprendizajes tienen avances y retrocesos”.  Los cambios que habría que producir  en las condiciones de escolaridad para que el docente pudiera enseñar de otra manera, –además de las cuestiones organizativas–, también incluyen la forma misma de dar clases, a fin de que “el alumno produzca sus soluciones en el aula”. Y explica: “Por ciertas dinámicas institucionales y probablemente porque es el modo que los docentes han encontrado para ir avanzando en el programa, el trabajo matemático más importante no se hace en la escuela sino fuera de ella. En el aula se corrigen las tareas, se avanza en algunas páginas del libro, pero la discusión, la puesta en común de las producciones, eso no siempre está presente, con el sentido que esas instancias tienen para el aprendizaje”.

“El profesor explica: quién entiende, qué dudas quedan, no se sabe. Da tareas. El alumno que tiene suerte cuenta con el apoyo de sus padres o de maestras particulares puede hacerlas de algún modo, pero ¿qué pasa con el que no?”, pregunta Fregona. “Con buena intención, el docente –prosigue la narración–, en la clase siguiente, invierte bastante tiempo en corregir esas tareas. Pero, claro, es una cosa muy rutinaria, muy aburrida: imaginate lo que es para 40 pibes estar mirando en el pizarrón si la respuesta que esta ahí tiene algo que ver con lo que hicieron. Pareciera que la producción es de otro y que yo me tengo que copiar. Eso es nefasto para la Matemática y para cualquier otra materia”.

Con la convicción de no cargar las tintas en los educadores que ya “demasiadas exigencias” tienen y comprendiendo que es muy difícil modificar las prácticas de enseñanza “si no hay un trabajo con los colegas, institucional, si no hay un acompañamiento del Estado”, Fregona indica que se hace difícil, tal como propone Patricia Sadovsky, “jugar otros juegos” dentro de la escuela. Juegos de desafíos intelectuales, de análisis y realización de producciones colectivas; teniendo mucho cuidado de que la comunicación pública de lo que cada grupo ha logrado resolver no termine convertida “en un rito”.

“El trabajo importante es el de producción de cada grupo, pero muchas veces la puesta en común se asemeja a la corrección de la tarea; termina siendo un espacio donde prácticamente no pasa nada y en el que finalmente la maestra pregunta cuál es la respuesta que les parece mejor a sus alumnos, aunque luego termina institucionalizando una solución, que es la que estaba esperando o buscando”, advierte. “Eso es natural que pase, porque tiene un proyecto de ir avanzando y obteniendo ciertos resultados”, matiza, mientras agrega que es necesario cambiarle el sentido a esa actividad, de manera que el análisis sirva para rescatar y construir ciertas categorías que tienen que ver con el objeto de estudio.

Esa tarea “le exige al maestro tener un proyecto de enseñanza muy claro y también conocer en detalle dónde están parados cada uno de sus alumnos en relación al conocimiento”. Únicamente si cuenta con esas herramientas, va a poder “valorar la producción, la escritura, el análisis, el error que ha cometido tal grupo: por qué lo hizo, de qué manera fue pensado el problema, de qué manera lo abordó”. “Y entonces no solamente las respuestas correctas son las que son útiles para el trabajo de clases sino también esos errores”, indica.

En este sentido, toma como ejemplo un caso real en el que una docente al hacer un diagnóstico descubre que sus alumnos no manejan el sistema decimal y al dos mil quinientos ocho en vez de escribirlo como 2.508, lo escriben como 25.008. Frente a ese error –que era individual– la profesora “debería haber parado la corrección, decirles que trabajaran en grupo para ver cómo resolvían la actividad y después retomar eso. Plantear la discusión de si el 2.508 es más grande o más chico que el 3.000 –que se supone que lo escriben bien y a esa altura del partido ya saben que es más grande–: si es más chico y lo escribí con cinco cifras, entonces aquí hay algo que no cierra”.

“La discusión –dice para redondear la idea– no es un rito; es buscarle la vuelta: saber qué pasó es construir en el espacio de la clase un saber que tal vez sea provisorio. Una cosa es obtener la respuesta correcta, y otra –cuestión que aparece en los diseños curriculares de Córdoba–, hacer y reflexionar sobre el hacer”.

 

La verdad y los límites

Guy Brousseau –cita Dilma Fregona, de una entrevista realizada por Humberto Alagia–, plantea que la Matemática es un dominio privilegiado para que los chicos vayan aprendiendo socialmente la búsqueda de la verdad, y en ese punto es importante poder comprender por qué funcionan determinadas técnicas. Sin embargo, “hay contenidos –ineludibles– que muchas veces son enseñados a nivel de técnicas, sin que haya una justificación”.

“Yves Chevallard –explica– modeliza la actividad matemática y distingue entre la tarea, la técnica, la tecnología y la teoría. La tarea es el problema que tengo resolver, y la técnica es la herramienta para poder hacerlo, por ejemplo la división. En general, la cosa se queda ahí: esto se hace así”. Sin embargo, señala la especialista, “un trabajo en profundidad, por ejemplo, sobre la compresión del sistema decimal de numeración daría la posibilidad de poder interpretar, de elaborar un discurso interpretativo sobre esa técnica: ‘Cuando decís  7 + 8 = 15. Pongo el 5 me llevo el 1. ¿A dónde me lo llevo?’ Ese 1 me lo llevo porque hay una regla del sistema decimal y hay propiedades que tiene la suma que hace que ese 1, pase a ser una decena junto con las otras decenas. Hay un discurso basado en la Matemática que justifica el porqué de esa serie de operaciones. Lo que se distingue después es la teoría: cuál es discurso más profundo de la Matemática que justifica esa tecnología”.

Consciente de que “hay que tener un clima y un hábito de trabajo, que están bastante perdidos”, dada la gradualidad de la enseñanza, la organización de la tarea docente, así como el valor del estudio en la sociedad; Fregona sostiene “que habría que lograr las condiciones para que en las escuelas las horas de Matemática –pero también de Lengua, de Historia– sean de producción de conocimientos, muchos de ellos tal vez provisorios, pero válidos en ese momento y proceso de avance”.

En este marco, la especialista señala que el desafío del profesor es “lanzar un problema o una actividad y ponerse a trabajar con los chicos para ver si procedimientos diferentes son correctos o cuáles son los límites que tienen”, en la medida que “las técnicas y razonamientos propios, en general, son válidos bajo ciertas condiciones”. “Entonces, para el docente es un reto intelectual grande ponerse a la altura del alumno y buscar la verdad”.

En este sentido, un debate que puede entrar al aula es la discusión sobre el 0: ¿es un número o no?: “Mucha gente dice que no, porque los números naturales nacieron para contar, entonces si no hay una cantidad de objetos distinguibles, no existe como noción. A la humanidad le llevó un montón de siglos construir la idea de 0. Y es un tema que es muy difícil –para los chicos y los maestros–; entonces pasa por decreto: 3 x 0 = 0. Para algunas personas 3 x 0 es 1, porque como 3 x 1 es 3 y al 0 no lo tienen mucho en cuenta, entonces concluyen que es uno”. “Ahora, queda como que la Matemática es así y punto. Cuando se podría discutir: ¿es posible o no la división por 0?; ¿es lo mismo poner 0 dividido 7 que 7 divido 0? No, porque la división no es conmutativa. Pero la interpretación de esa respuesta –0 divido 7 ó 7 dividido 0– plantea estas cuestiones de los límites: hay respuestas que son válidas, verdaderas, en determinados dominios, y en los bordes es donde hay que buscar otras cosas”. Como la vida misma.
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Lo que otros están diciendo

  1. Toia mayo 28, 2013 a 7:21

    Muy buena entrevista Dilma, y muy didáctica.
    Como bien dices, todo proceso de enseñanza y aprendizaje es complejo, pero muuuy gratificante al final.

    Un abrazo

  2. Pablo G mayo 29, 2013 a 11:25

    Buen artículo. Contiene muchas ideas que me hacen reflexionar sobre mi práctica docente, y lo encorsetados que estamos los profesores con los programas. Creo que acabamos priorizando las técnicas por encima de la teoría y la tecnología, porque su evaluación es más sencilla y “objetiva”. Pero la grandeza está en poder visitar todas los niveles.

  3. Haydee Guzmán López noviembre 15, 2013 a 21:03

    Es cierto que las matemáticas son fáciles, el reto de enseñar de una forma contextualizada ayuda mucho a que el alumno interprete, investigue y tome diferentes formas de solucionar un problema.
    El maestro debe enseñar a partir de una situación problemáticas.

  4. silvia noviembre 27, 2013 a 0:57

    me parece muy interesante el aporte es verdad hay que hacer que el alumno construya su aprendizaje y es ahi la importancia

    gracias

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